Geometria diofantea e applicazioni alla fattorizzazione di polinomi lacunari

Appunti di D. Lombardo

Lo scopo del corso è trattare qualche applicazione di risultati di geometria diofantea allo studio dei polinomi lacunari. Di seguito un programma preliminare.

Dopo aver definito l'altezza di Weil dei numeri algebrici, si  discuterà il problema della sua minorazione. Come applicazione, si presenteranno alcuni algoritmi per la ricerca dei fattori irriducibili di grado limitato di polinomi lacunari in una o più variabili.  Si presenterà quindi una congettura di Schinzel e se ne discuteranno le applicazioni al calcolo del massimo comune divisore di polinomi lacunari. La dimostrazione della congettura (Bombieri-Zannier '97-98) necessiterà un'introduzione allo studio del gruppo moltiplicativo G_m^n (sottogruppi algebrici, analogo moltiplicativo della congettura di Manin-Mumford, …). 

Prerequisiti: introduzione alla teoria algebrica dei numeri; introduzione alla geometria algebrica.

Programma dettagliato:

- Introduzione (appunti manoscritti)

- Valori assoluti, altezza di Weil : [Am], capitolo 2; [Bo-Gu], Capitolo 1; [Za] capitolo III; [Wa] capitolo 3.

- Minorazione dell'altezza di numeri algebrici: [Am], capitoli 3 e 4; [Bo-Gu], capitolo 4; [Za], Appendice; [Am-Da-Za], Introduzione

- Fattori di grado piccolo di polinomi lacunari in una variabile : [Le]

- Introduzione alla geometria e all'aritmetica di Gm^n : [Bo-Gu], capitolo 3; [Schm]; [Za], capitolo IV, paragrafi 1,2 ;

- Minorazione dell'altezza in Gm^n : [Bo-Gu], capitolo 3; [Za], Appendice.

- Fattori di grado piccolo di polinomi lacunari in più variabili : [Le]   

- Altezze di ipersuperfici, Lemma di Siegel per sottovarietà di Gm^n, dimostrazione elementare della disuguaglianza di Zhang,
  minorazione del minimo essenziale di curve in Gm^2 : [Am-Da], appunti manoscritti

- Calcolo della misura di Mahler di polinomi in piu' variabili : [Am-Mi], Appendice.
- Congettura di Zilber : [Za2], capitolo 1; [Zi]

- Varianti della congettura di Shanuel : [Ki]

- Unlikely intersections e calcolo del gcd e delle radici multiple di polinomi lacunari : [Am-Le-So], [Am-So-Za]

- Prova della congettura di Schinzel sui polinomi lacunari : [Sc], [Bo-Ma-Za], [Am-So-Za]

Seminari degli studenti:

J. L. Demeio "Zilber implica Mordell-Lang"

M. Verzobio "La congettura di Schanuel uniforme"

Bibliografia

[Am] Amoroso, F.  - "Minorations de la hauteur d'un nombre algébrique" (corso di dottorato, giugno 2002)

[Am-Da] Amoroso, F.; David S. - "Minoration de la hauteur normalisée des hypersurfaces". Acta Arith. 92 (2000), no. 4, 340--366.
[Am-Da-Za] Amoroso, F.; David, S.; Zannier U. - "On fields with the property (B)". Proc. Amer. Math. Soc., 142 (2014), no 6, 893--1910

[Am-Le-So] Amoroso, F.; Leroux, L.; Sombra, M. - "Overdetermined systems of lacunary equations" Found Comput Math 15 (2015), 53--87.

[Am-Mi] Amoroso, F; Mignotte M. - "Upper bound for the coefficients of an irreducible integer polynomials in several variables"  Acta Arith. 99 (2001), no. 1, 1--12.

[Am-So-Za] Amoroso, F.; Sombra, M.; Zannier U. - "Unlikely intersections and multiple roots of sparse polynomials" Math. Zeitschrift 287 (2017), no 3-4, 1065--1081.

[Av-Kr-So] Avendaño, M.; Krick, T.; Sombra, M. - "Factoring bivariate sparse (lacunary) polynomials". J. Complexity 23 (2007), no. 2, 193–216.

[Bo-Gu] Bombieri, E.; Gubler, W. - "Heights in Diophantine geometry". Cambridge University Press, Cambridge, 2006

[Bo-Ma-Za] Bombieri, E.; Masser, D.; Zannier U. - "Anomalous subvarieties --- structure theorems and applications",  Int. Math. Res. Notices 2007 (2007)

[Ki] Kirby, J. - "Variants of Shanuel's conjecture", https://arxiv.org/pdf/1801.08765.pdf

[Le] Lenstra, H. W. - "Finding small degree factors of lacunary polynomials". Number theory in progress, Vol. 1 (Zakopane-Kościelisko, 1997), 267–276, de Gruyter, Berlin, 1999

[Sc] Schinzel, A. - "Polynomials with special regard to reducibility." With an appendix by Umberto Zannier, Encyclopedia Math. Appl., vol. 77,  Cambridge Univ. Press, 2000.

[Schm] Schmidt, W. M. - "Heights of points on subvarieties of G_n^m,  Number theory (Paris, 1993--1994), London Math. Soc. Lecture Notes Ser., vol. 235, Cambridge Univ. Press, 1996, pp.~157--187.

[Wa]  Waldschmidt, M. - "Diophantine approximation on linear algebraic groups". Springer-Verlag, Berlin, 2000. (Capitolo 3)

[Za]  Zannier, U. -  "Lecture notes on Diophantine analysis". With an appendix by Francesco Amoroso. Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa, 8. Edizioni della Normale, Pisa, 2009.

[Za2]  Zannier, U. -  "Some problems of unlikely intersections in arithmetic and geometry". With appendixes by David Masser, Ann. of Math. Stud., vol. 181, Princeton Univ. Press, 2012.

[Zi] Zilber, B. - "Exponential sums equations and the Schanuel conjecture". J. London Math. Soc. 65 (2002), 27--44. https://doi.org/10.1112/S0024610701002861


Registro delle lezioni

Settimana I (4h)

Martedì 24/4:
Introduzione. Qualche problema computazionale non banale sui polinomi lacunari e metodi di geometria aritmetica soggiacenti:
- calcolo delle radici intere, gcd, fattorizzazione;
- minorazione dell’altezza di Weil, congettura di Schiznel (teorema di Bombieri-Zannier), teorema di Bertini torico
[SeminarioInfo]

Giovedì 26/4:
Valori assoluti e valutazioni su un campo di numeri. Altezza di Weil

Settimana II (4h)

Mercoledì 2/5:
Radici razionali di polinomi lacunari in una variabile.
Problema di Lehmer e generalizzazioni (dim 1). Cenni sulla dimostrazione del teorema di Dobrowolski

Giovedì 3/5
Cenni sulla dimostrazione della minorazione dell’altezza in estensioni abeliane.
Punti di torsione su curva: un teorema di Liardet

Settimana III (4h)

Martedì 8/5:
Introduzione alla geometria di Gm^n

Mercoledì 9/5:
Altezze in Gm^n
Problemi di Lehmer e Bogomolov in dimensione superiore [seminari]
Radici razionali di polinomi lacunari in più variabili

Settimana IV (6h)
Martedì 29/5:
Altezze di sottovarietà di Gm^n e disuguaglianza di Zhang: qualche dimostrazione (ipersuperfici, n=2, …)

Mercoledì 30/5:
Problemi di Lehmer e Bogomolov in dimensione superiore : qualche dimostrazione in dim 2

Giovedì 31/5:
Congetture di Schinzel e Zilber. Legami con la congettura di Schanuel.

Settimana V (6h)

Martedì 5/6
Applicazioni della congettura di Schinzel (CS) al calcolo del MCD di polinomi lacunari.
V^0, V^*, Dimostrazione della CS: riduzioni.

Mercoledì 6/6
Calcolo del MCD di polinomi lacunari: esempi.
Dimostrazione della CS : primo caso.

Giovedì 7/6
V^{oa}.
Dimostrazione della CS : secondo caso.
Versione uniforme della CS. Applicazioni al calcolo del MCD.

Settimana VI (6h)

Martedì 12/6
Dim proposizione del teorema di struttura. I. Lemmi preparatori

Mercoledì 13/6
Dim proposizione del teorema di struttura. II.

Giovedì 14/6
Dimostrazione della BH (caso intersezione con tori di dim 1).
Bounded Height Conjecture, Teoremi di struttura.

Settimana VII (2h)

Mercoledì 18/7
Seminari degli studenti