Minorazioni dell'altezza di numeri algebrici
Bibliografia
Libri, appunti:
[Am] Amoroso, F. - "Minorations de
la hauteur d'un nombre algébrique" Edizioni Plus, Università di Pisa,
2009.
[Bo-Gu] Bombieri, E.; Gubler, W. - "Heights in Diophantine geometry". Cambridge
University Press, Cambridge, 2006.
[Ma] Masser, D. - "Auxiliary Polynomials in Number Theory". Cambridge
University Press, Cambridge, 2016.
[Wa] Waldschmidt, M. - "Diophantine approximation on linear
algebraic groups". Springer-Verlag, Berlin, 2000.
[Za] Zannier, U. - "Lecture notes on
Diophantine analysis". With an appendix by Francesco
Amoroso. Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa, 8. Edizioni
della Normale, Pisa, 2009.
Articoli
[Am-Za] Amoroso, Zannier U. - "A uniform
relative Dobrowolski's lower bound over abelian extensions."
Bull. London Math. Soc., 42 (2010), no. 3, 489-498.
[Am-Da-Za] Amoroso, F.; David, S.; Zannier U. - "On fields with the
property (B)". Proc. Amer. Math. Soc., 142 (2014), no
6, pp. 893-1910
[Am1] Amoroso, F. - "On
a conjecture of G. Rémond", Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, 40
(2016), 598-608
[Bo-Za] Bombieri, E.; Zannier, U. - "A
Note on heights in certain infinite extensions of Q".
Rend. Mat. Acc. Lincei s. 9, v. 12, pp. 5-14 (2001)
[H-S] Höhn, G.; Skoruppa N.-P. - "Un
résultat de Schinzel", JTNB, Tome 5 (1993) no. 1, p.
185.
Vari
[Am2] Amoroso, F. - "Minorazioni
dell'altezza di numeri algebrici: qualche risultato recente",
Seminario Torino, 2021.
Minorazioni dell'altezza di numeri algebrici: qualche
risultato recente
[Am3] Amoroso, F. - "Lower
bounds for the height", appendix to [Za]
Registro delle lezioni
Venerdì 28/10
Introduzione. Misura di Mahler di un polinomio, altezza di Weil.
Relazione tra misura e coefficienti. Teorema di finitezza di
Northcott. Numeri di altezza nulla: teorema di Kronecker.
Problema di Lehmer, teorema di Dobrowolski. Altezza di numeri non
reciproci: teorema di Schinzel. Numeri di Pisot e di Salem.
Referenze:
[Am2], cap. 1; [Bo-Gu], cap. 1; [Za] pp. 94-95.
Lunedì 31/10
Campi con la proprietà B. Esempio: campi totalmente reali.
Equidistribuzione radiale e angolare dei coniugati. Teoremi di
Erdos-Turàn e Langevin-Mignotte.
Teorema di equidistribuzione di Bilu.
Referenze: [Bo-Za], [H-S]; [M] cap.15.
Mercoledì 2/11
Dimostrazione del teorema di equidistribuzione.
Referenze: [Bo-Gu], pp. 101-104.
Venerdì 4/11
Valori assoluti e valutazioni. Teorema di Ostrowski.
Referenze: [Am2], parr. 2.1-2.2.
Lunedì 7/11
Richiami sulla fattorizzazione degli interi algebrici. Valori
assoluti su un campo di numeri. Formula del prodotto. Cenni sulle
estensioni di campi locali e completamenti.
Referenze: [Am], par. 2.3; [Bo-Gu], parr. 1.1-1.4; [Za], parr. 3.1;
[W] par. 3.1
Mercoledì 9/11
Altezza di Weil, altezze di polinomi. Equivalenza tra le due
definizioni di altezza.
Referenze: [Am], parr. 2.4 e 2.5; [Za], parr. 3.2.1 (fino alla prop.
3.1 inclusa), 3.2.2 e 3.2.3; [W] parr. 3.2 (fino alla proprietà 3.3
inclusa) e 3.3
Venerdì 11/11
Teorema di Dobrowolski: idea della dimostrazione
Referenze: [Am], parr. 3.1 e 3.2
Giovedì 17/11
Dimostrazione del Teorema di Dobrowolski.
Referenze: [Am3], par.
VI.2.1
Venerdì 18/11
Dimostrazione del Lemma di Siegel. Minorazione
dell'altezza in un'estensione abeliana (intrduzione).
Referenze: [Am3], par. VI.2.2
Lunedì
21/11
Minorazione dell'altezza in un'estensione abeliana di Q.
Referenze: [Am3], par. VI.2.2
Mercoledì 23/11
Disuguaglianze metriche. Lemma fondamentale.
Frobenius. Minorazione dell'altezza nei campi con grado locale
limitato.
Referenze: [Am-Da-Za], sezione 2.
Venerdì 25/11
Gruppi di
ramificazione. Una conseguenza del teorema di Hasse-Harff.
Referenze: [Am-Za], sezione 2.
Lunedì 28/11
Minorazione dell'altezza in un'estensione abeliana di Q.
Estensioni radicali.
Referenze: [Am-Za], sezione 2; [Am3].